démonstration :
>lemme :
>si \(f:I\to\Bbb R\) une fonction strictement monotone
>alors \(\Bbb R\) est injective sur \(I\)
>démonstration :
>soient \(x, x'\in I\) tels que \(f(x)=f(x')\)
>si \(x\neq x'\), alors \(x\lt x'\) ou bien \(x\gt x'\)
>- si \(x\lt x'\), alors \(f(x)\lt f(x')\) si \(f\) est strictement croissante et \(f(x)\gt f(x')\) si \(f\) est strictement décroissante
>- si \(x\gt x'\), alors \(f(x)\lt f(x')\) si \(f\) est strictement décroissante et \(f(x)\gt f(x')\) si \(f\) est strictement croissante
>
> or on a \(f(x)=f(x')\), donc le seul cas possible est que \(x=x'\) par élimination
> donc \(f\) est injective
D'après le lemme, \(f\) est injective sur \(I\)
On note \(f:I\to J=f(I)\)
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, \(J\) est un intervalle
Montrons que \(f^{-1}\) est strictement monotone
Soit \(x=f^{-1}(y)\) et \(x'=f^{-1}(y')\in I\)
Alors \(y=f(x)\) et \(y'=f(x')\)
par disjonction des cas, supposons que \(f\) est strictement croissante
\(y\lt y'\Longrightarrow f(x)\lt f(x')\Longrightarrow x\lt x'\Longrightarrow f^{-1}(y)\lt f^{-1}(y')\)
Alors \(f^{-1}\) est strictement décroissante
supposons que \(f\) est strictement décroissante
\(y\lt y'\Longrightarrow f(x)\gt f(x')\Longrightarrow x\gt x'\Longrightarrow f^{-1}(y)\gt f^{-1}(y')\)
Alors \(f^{-1}\) est strictement croissante
Montrons que \(f^{-1}\) est continue
Soit \(\epsilon\gt 0\)
Soit \(y_0\in J\) et \(x_0=f^{-1}(y_0)\)
On cherche \(\delta\gt 0\) tel que $$|y-y_0|\lt \delta\Longrightarrow |f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|\lt \epsilon$$
si \(f\) est strictement croissante, $$f(x_0-\epsilon)\lt f(x)\lt f(x_0+\epsilon)\quad\forall x\in I$$
$$\Longrightarrow x_0-\epsilon\lt x\lt x_0+\epsilon$$
$$\Longrightarrow f^{-1}(y_0)-\epsilon\lt y_0f^{-1}(y_0)+\epsilon$$
Comme \(f(x_0-\epsilon)\lt y_0\lt f(x_0+\epsilon)\), on peut choisir \(\delta\) tel que $$f(x_0-\epsilon)\lt y_0-\delta\quad\text{ et }\quad f(x_0+\epsilon)\lt y_0+\delta$$
$$\forall x\in I, y_0-\delta\lt f(x)\lt y_0+\delta$$
$$\Longrightarrow f(x-\epsilon)\lt f(x)\lt f(x+\epsilon)$$
$$\Longrightarrow f^{-1}(y_0)-\epsilon\lt x\lt f^{-1}(y_0)+\epsilon$$
